Hay que encontrar una función cuya derivada segunda sea la misma función cambiada de signo. Las funciones sinusoidales (seno y coseno) cumplen esa condición:
$$\frac{\delta sin(\omega t)}{\delta t} \; = \; \omega\; cos(\omega t)$$
y
$$\frac{\delta cos(\omega t)}{\delta t} \; = \; -\omega\; sin(\omega t)$$Por lo tanto: $$\frac{\delta^2 sin(\omega t)}{\delta t^2} \; = \; -\omega^2\; sin(\omega t)$$ Por tanto, la función que representa el desplazamiento x en función del tiempo t es la función seno: $$\boldsymbol{x(t) \; = \; sin(\omega t)}$$